Uma brincadeira para principiantes.

Vou mostrar uma pequena aplicação do Origami na Matemática, particularmente na Geometria Plana.

Os resultados parecerão óbvios, no entanto, os passos são muito atractivos para quem se inicia ou em Origami, ou na Geometria Plana. Parecem magia!

Dada a sua simplicidade, é possível realizá-los durante uma aula.

Como o Origami é uma arte que envolve movimento do papel e raciocínio por quem o dobra, esta introdução será interactiva - terá que se dobrar papel!

Para aumentar o coeficiente de surpresa... é imprescindível que se executem as tarefas pedidas, à medida que o texto é lido, senão vai perder-se todo o prazer da descoberta!

Como base de trabalho vão ser utilizadas folhas de papel quadradas, que podem ser facilmente criadas a partir de qualquer folha rectangular. Como o fazer?... Um grande segredo...

Já agora, não fica mal dar uma olhadela a toda a simbologia que vai ser utilizada ao longo deste artigo.

Simbologia
Símbolo	Significado	Exemplo
	Dobra em vale
	Dobra em montanha
	Dobra para a frente
	Dobra para trás
	Afundar
	Cortar

O rectângulo que se fez quadrado

O quadrado tem uma largura - a e uma área - a².

Vamos então começar com a lição:

Em primeiro lugar vamos dobrar o quadrado ao meio transversalmente.

Resultado: um quadrado pode ser decomposto em dois rectângulos iguais, de lados, respectivamente, a e a/2.

Mas... há ainda outra maneira de dobrar um quadrado ao meio, qual?... Que tal na diagonal?

Resultado: um quadrado pode ser decomposto em dois triângulos, mais especificamente triângulos rectângulos, com catetos de lado a.

Tanto o rectângulo obtido na primeira dobragem, como o triângulo da segunda, têm ambos a mesma área! Não parece, pois não?

Conclusão: um quadrado pode então ser decomposto ou em dois rectângulos iguais, ou em dois triângulos iguais, tendo todos a mesma área!

Vamos então avançar um pouco mais!
(Isto foram somente as bases)

Se possível, deve utilizar-se a partir de agora duas folhas quadradas de cores diferentes. Assim será mais fácil verificar todas as diferenças e semelhanças.

Vamos dobrar umas das folhas de forma a criar a base da flor, como se pode ver no diagrama seguinte.

Quantos quadrados se consegue contar no exterior? Quais são as suas dimensões?

Conclusão: um quadrado pode ser formado por quatro outros quadrados, mais pequenos, cada um com uma largura a/2 e uma área (a²)/4.

Vamos agora dobrar a outra folha, afim de criar a base da bomba de água.

Quantos triângulos é possível contar? Quais são as suas dimensões?

Conclusão: um quadrado também pode ser formado por quatro triângulos, cada um com uma hipotenusa de largura a (qual a largura dos catetos?) e uma área (a²)/4 relativamente ao quadrado-mor.

Devido a efeitos ópticos, a segunda base parece ser "maior" do que a primeira, certo?
Mas, na realidade, são iguais.

Magicamente cada uma das bases é a inversa da outra! ...hã?!

Ou seja, consegue-se transformar um quadrado, decomposto em triângulos, num decomposto em quadrados mais pequenos, e vice versa, sem aplicar qualquer tipo de cortes!

Cada uma das mini-unidades irá dar outra mini-unidade invertida! (mais precisamente, cada meia unidade de cada duas mini-unidades dará a sua inversa) - complicado?

Vamos então a mais um exemplo para clarificar as ideias.

Como se faz? Simples!
Só é necessário pegar numa das bases e empurrar o bico superior, como indicado na figura, até...

..::: P O P ! ! :::..

...aparecer magicamente a outra base.

(Dica: enquanto se puxam as abas opostas, para fora e para cima, com os dedos indicadores de cada mão, empurra-se o bico, com um polegar, na direcção oposta!)

Mas as bases são ou não são iguais?
É facílimo comparar, introduzindo uma dentro da outra!

Moral da história:
Consegue provar-se duas ideias diferentes, recorrendo a um mesmo processo!
Inicialmente, caminha-se em direcções opostas, mas chega-se ao mesmo resultado!

É destes desafios que os Matemáticos gostam!